高中数学基础:集合与函数

集合

由一个或多个确定的元素所构成的整体叫做集合。若$x$是集合$A$的元素,则记作$x \in A$。

集合中的元素有三个特征:
1.确定性(集合中的元素必须是确定的)。
2.互异性(集合中的元素互不相同)。例如:集合$A=\{1,a\}$,则$a$不能等于1)。
3.无序性(集合中的元素没有先后之分),如集合$\{3,4,5\}$和$\{3,5,4\}$算作同一个集合。

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的元素。
例如全中国人的集合,它的元素就是每一个中国人。我们通常用大写字母如$A$,$B$,$S$,$T$,…表示集合,而用小写字母如$a$,$b$,$x$,$y$,…表示集合的元素。
若x是集合$S$的元素,则称$x$属于$S$,记为$x \in S$。若$y$不是集合$S$的元素,则称$y$不属于$S$,记为$y \notin S$。一般的我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含无限个元素的集合叫做无限集

集合的表示方法:列举法、描述法、符合法

有一类特殊的集合,它不包含任何元素,如$ \{x|x \in R x^2+1=0 \} $,我们称之为空集,记为$\emptyset$
空集是个特殊的集合,它有2个特点:
空集$\emptyset$是任意一个非空集合的真子集
空集是任何一个集合的子集

如果集合$A$中含有n个元素,则集合$A$有2的n次方个子集,2的n次方-1个真子集

有些集合可以用一些特殊符号表示,比如:
$N$:非负整数集合或自然数集合$\{0,1,2,3,…\}$
$N*$或$N+$:正整数集合$\{1,2,3,…\}$
$Z$:整数集合$\{…,-1,0,1,…\}$
$Q$:有理数集合
$Q+$:正有理数集合
$Q-$:负有理数集合
$R$:实数集合(包括有理数和无理数)
$R+$:正实数集合
$R-$:负实数集合
$C$:复数集合
$∅$:空集(不含有任何元素的集合)

无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等

集合之间的基本运算:
并集定义:由所有属于集合$A$或属于集合$B$的元素所组成的集合,记作$A \bigcup B$(或$B \bigcup A$),读作$A$并$B$(或$B$并$A$),即$A \bigcup B=\{x|x \in A,或x \in B\}$。并集越并越多。
交集定义:由属于$A$且属于$B$的相同元素组成的集合,记作$A$ \bigcap $B$(或$B$ \bigcap $A$),读作$A$交$B$(或$B$交$A$),即$A \bigcap B=\{x|x \in A,且x \in B\}$。交集越交越少。
若$A$包含$B$($B$包含于$A$),则$A \bigcap B=B$,$A \bigcup B=A$

补集
相对补集定义:由属于$A$而不属于$B$的元素组成的集合,称为$B$关于$A$的相对补集,记作$A-B$或$A \backslash B$,即$A-B={x|x \in A,且x \notin B}$
绝对补集定义:$A$关于全集合$U$的相对补集称作$A$的绝对补集,记作$A’$或$C_uA$或$~A$。有$U’=\emptyset$;$\emptyset’=U$

函数

函数的定义:设$A$、$B$是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系$f$,使得对于集合$A$中的任意一个元素$x$,在集合$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应,那么就称映射$f:A–>B$为从集合$A$到集合$B$的一个函数,记作$y=f(x) x\in A$
其中$x$叫自变量,$y$叫做$x$的函数,集合$A$是函数的定义域,集合$B$是值域,$f$叫做对应法则。其中定义域,值域,对应法则是函数的三要素。

函数的三种表示方法:解析法 图像法 列表法

函数的特性

(1)有界性

设函数$f(x)$在区间$X$上有定义,如果存在$M > 0$,对于一切属于区间$X$上的$x$,恒有 $|f(x)| ≤ M$,则称$f(x)$在区间$X$上有界,否则称$f(x)$在区间上无界

(2)单调性

设函数$f(x)$的定义域为$D$,区间$I$包含于$D$。如果对于区间上任意两点$x_1$及$x_2$,当$x_1 < x_2$时,恒有$f(x_1) < f(x_2)$,则称函数$f(x)$
在区间$I$上是单调递增的;如果对于区间$I$上任意两点$x_1$及$x_2$,当$x_1 < x_2$时,恒有$f(x_1) > f(x_2)$,则称函数$f(x)$
在区间$I$上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

(3)奇偶性

设$f(x)$为一个实变量实值函数,若有$f(-x) = - f(x)$,则$f(x)$为奇函数。
几何上,一个奇函数关于原点对称,亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
设$f(x)$为一实变量实值函数,若有$f(-x) = f(x)$,则$f(x)$为偶函数。
几何上,一个偶函数关于y轴对称,亦即其图在对y轴映射后不会改变。

函数的导数:如果函数$f(x)$在$(a, b)$中每一点处都可导,则称$f(x)$在$(a, b)$上可导,则可建立$f(x)$的导函数,简称导数,记为$f’(x)$

函数$y=f(x)$在点$x_1$处的导数的几何意义:
函数$y=f(x)$在点$x_1$处的导数是曲线$y=f(x)$在$P(x_1, f(x_1))$处的切线的斜率$f’(x_1)$
相应的切线方程是$y-y_1 = f’(x_1)(x - x_1)$

复合函数:函数的嵌套 $y=f(t)$ $t=g(x)$,即$y=f(g(x))$

常函数:$y = C$ ($C$是常数)
一次函数:$y = kx + b$ ($k$为一次项系数,$b$为常数)
二次函数:$y = ax_2 + bx +c , (a!=0)$

二次函数是抛物线,但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线$x=-b/2a$。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点$P$。特别地,当$b=0$时,抛物线的对称轴是$y$轴(即直线$x=0$)

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