高中数学基础:反函数与6个基本初等函数

反函数

一般地,如果$x$与$y$关于某种对应关系$f(x)$相对应,$y=f(x)$,则$y=f(x)$的反函数为$x=f(y)$或者$y=f^{-1}(x)$。
存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
注意:上标”−1”指的并不是幂。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

性质:
(1)函数$f(x)$与它的反函数$f^{-1}(x)$图象关于直线$y=x$对称;
(2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(4)大部分偶函数不存在反函数(当函数$y=f(x)$, 定义域是$\{0\}$ 且$f(x)=C $(其中$C$是常数),则函数$f(x)$是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是$\{C\}$,值域为$\{0\} $)。奇函数不一定存在反函数,被与$y$轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
(5)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
(6)严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数;
(7)反函数是相互的且具有唯一性;
(8)定义域、值域相反对应法则互逆。

初等函数

基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。

幂函数

一般地,形如$y=x^α$($α$为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。
其中,$α$可为任何常数,但中学阶段仅研究$α$为有理数的情形($α$为无理数时取其近似的有理数)

例如函数$y=C$、$y=x$、$y=x^2$、$y=x^{-1}=\frac{1}{x} (x≠0)$、$y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$等都是幂函数。

指数函数

$$y=a^x$$

$a$为常数且$a>0,a≠1$称为指数函数,其中$x \in R$,$y \in (0,+∞)$。

指数函数中,前面的系数为1。如:$y=10^x$、$y=\pi^x$ 都是指数函数,而$y=2*3^x$不是指数函数

当$a>1$时,指数函数是单调递增函数;当$0<a<1$时,指数函数是单调递减函数。

指数函数运算法则:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
$a^{m+n}=a^m·a^n$
$a^{m-n}=a^m·a^{-n}=\frac{a^m}{a^n}$
$a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m$

对数函数

对数函数是指数函数的反函数

$$y=\log_ax$$

$a$为常数且$a>0,a≠1$称为对数函数,$x \in (0,+∞)$,$y \in R$。

当$a>1$时,指数函数是单调递增函数;当$0<a<1$时,指数函数是单调递减函数。

对数函数运算法则:

$\log_aMN=\log_aM+\log_aN$
$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$
$\log_aa^b=b$, $\log_{10}a=\operatorname{lg}a$, $\log_ea=\operatorname{ln}a$
$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$ //换底公式
$\log_{a^n}b^m=\frac{m}{n}log_ab$

三角函数

正弦:$y=\operatorname{sin}x$,$y \in [-1,1]$
余弦:$y=\operatorname{cos}x$,$y \in [-1,1]$
正切:$y=\operatorname{tan}x$,$y \in (-∞,+∞)$
正切:$y=\operatorname{cot}x$,$y \in (-∞,+∞)$

三角函数公式

(1)和差角公式

$\operatorname{cos}(a+b)=\operatorname{cos}a \operatorname{cos}b - \operatorname{sin}a \operatorname{sin}b$
$\operatorname{cos}(a-b)=\operatorname{cos}a \operatorname{cos}b + \operatorname{sin}a \operatorname{sin}b$
$\operatorname{sin}(a+b)=\operatorname{sin}a \operatorname{cos}b + \operatorname{cos}a \operatorname{sin}b$
$\operatorname{sin}(a-b)=\operatorname{sin}a \operatorname{cos}b - \operatorname{cos}a \operatorname{sin}b$
$\operatorname{tan}(a+b)=\frac{\operatorname{tan}a + \operatorname{tan}b}{1-\operatorname{tan}a \operatorname{tan}b}$
$\operatorname{tan}(a-b)=\frac{\operatorname{tan}a - \operatorname{tan}b}{1+\operatorname{tan}a \operatorname{tan}b}$

(2)和差化积公式

$\operatorname{sin}a+\operatorname{sin}b=2\operatorname{sin}\frac{a+b}{2}\operatorname{cos}\frac{a-b}{2}$
$\operatorname{sin}a-\operatorname{sin}b=2\operatorname{cos}\frac{a+b}{2}\operatorname{sin}\frac{a-b}{2}$
$\operatorname{cos}a+\operatorname{cos}b=2\operatorname{cos}\frac{a+b}{2}\operatorname{cos}\frac{a-b}{2}$
$\operatorname{cos}a-\operatorname{cos}b=-2\operatorname{sin}\frac{a+b}{2}\operatorname{sin}\frac{a-b}{2}$
$\operatorname{tan}a±\operatorname{tan}b=\frac{\operatorname{sin}(a±b)}{\operatorname{cos}a\operatorname{cos}b}$
$\operatorname{cot}a±\operatorname{cot}b=±\frac{\operatorname{sin}(a±b)}{\operatorname{sin}a\operatorname{sin}b}$

(3)积化和差公式

$\operatorname{sin}a\operatorname{cos}b=\frac{1}{2}[\operatorname{sin}(a+b)+\operatorname{sin}(a-b)]$
$\operatorname{cos}a\operatorname{sin}b=\frac{1}{2}[\operatorname{sin}(a+b)-\operatorname{sin}(a-b)]$
$\operatorname{cos}a\operatorname{cos}b=\frac{1}{2}[\operatorname{cos}(a+b)+\operatorname{cos}(a-b)]$
$\operatorname{sin}a\operatorname{sin}b=\frac{1}{2}[\operatorname{cos}(a+b)-\operatorname{cos}(a-b)]$

(4)二倍角公式

$\operatorname{sin}2a=2\operatorname{sin}a\operatorname{cos}a$
$\operatorname{cos}2a=2\operatorname{cos}^2a-1=1-2\operatorname{sin}^2a$
$\operatorname{tan}2a=\frac{2\operatorname{tan}a}{1-\operatorname{tan}^2a}$

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