高中数学基础:角的概念与三角常用公式

角的概念

在数学和物理中,弧度是角的度量单位。它是由国际单位制导出的单位

  • 同一三角形中,等边对等角,等角对等边
  • 直角三角形中,30度角所对边等于斜边一半
  • 直角三角形中,斜边中线等于斜边一半
  • 直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)
  • 等腰三角形中,两腰相等
  • 等腰直角三角形中,两直角边相等

任意角

1、正角、父角、零角、象限角的概念

2、与角$\alpha$终边相同的角的集合:$\{ \beta | \beta=\alpha + 2k\pi, , k \in Z \}$

弧度制

1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角

2、$|\alpha|=\frac{l}{r}$

3、弧长公式:$l=\frac{n\pi r}{180}=|\alpha|r$

4、扇形面积公式:$S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{1}{2}lr$

任意角的三角函数

1、设$\alpha$是一个任意角,它的终边与单位圆交于点$P(x,y)$,那么

$\sin \alpha = y$,$\cos \alpha = x$,$\tan \alpha = \frac{y}{x}$

2、设点$A(x,y)$为角$\alpha$终边上任意一点,那么:(设$r=\sqrt{(x^2+y^2)}$)

$\sin \alpha = \frac{y}{r}$,$\cos \alpha = \frac{x}{r}$,$\tan \alpha = \frac{y}{x}$,$\cot \alpha = \frac{x}{y}$

3、特殊角的三角函数值

$\alpha$ 0 $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\frac{5\pi}{6}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$
$\sin \alpha$ 0 $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0 -1
$\cos \alpha$ 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ -1 0
$\tan \alpha$ 0 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 1 $\sqrt{3}$ $+∞$ $-\sqrt{3}$ -1 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 0 $-∞$

三角函数图像与性质

性质 $\sin x$ $\cos x$ $\tan x$
周期性 $T=2\pi$ $T=2\pi$ $T=\pi$
奇偶性
单调性 在$[2k\pi-\pi/2,2k\pi+\pi/2]$上单调递增
在$[2k\pi+\pi/2,2k\pi+3\pi/2]$上单调递减
在$[2k\pi-\pi,2k\pi]$上单调递增
在$[2k\pi,2k\pi+\pi]$上单调递减
在$[k\pi-\pi/2,k\pi+\pi/2]$上单调递增
对称性 对称轴方程:$x=k\pi+\pi/2$
对称中心:$(k\pi,0)$
对称轴方程:$x=k\pi$
对称中心:$(k\pi+\pi/2,0)$
无对称轴
对称中心:$(k\pi/2,0)$

三角函数常用公式

同角三角函数的基本关系

1、平方关系:$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

2、商数关系:$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

3、倒数关系:$\tan \alpha \cot \alpha = 1$

三角函数诱导公式

$\sin (\alpha + 2k \pi) = \sin \alpha$
$\cos (\alpha + 2k \pi) = \cos \alpha$
$\tan (\alpha + 2k \pi) = \tan \alpha$

$\sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha$
$\cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha$
$\tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha$

$\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha$
$\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha$
$\tan (\pi - \alpha) = -\tan \alpha$

$\sin (-\alpha) = -\sin \alpha$
$\cos (-\alpha) = \cos \alpha$
$\tan (-\alpha) = -\tan \alpha$

$\sin (\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos \alpha$
$\cos (\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin \alpha$

$\sin (\frac{\pi}{2}+\alpha) = \cos \alpha$
$\cos (\frac{\pi}{2}+\alpha) = -\sin \alpha$

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