高中数学基础：集合与函数

集合

由一个或多个确定的元素所构成的整体叫做集合。若$x$是集合$A$的元素，则记作x \in A。

集合中的元素有三个特征：
1.确定性（集合中的元素必须是确定的）。
2.互异性（集合中的元素互不相同）。例如：集合A=\\{1，a\\}，则$a$不能等于1）。
3.无序性（集合中的元素没有先后之分），如集合$\{3,4,5\}$和$\{3,5,4\}$算作同一个集合。

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。
例如全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。我们通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。
若x是集合$S$的元素，则称$x$属于$S$，记为$x \in S$。若$y$不是集合$S$的元素，则称$y$不属于$S$，记为$y \notin S$。一般的我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。

集合的表示方法：列举法、描述法、符合法

有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如$ \{x|x \in R x^2+1=0 \} $，我们称之为空集，记为$\emptyset$
空集是个特殊的集合，它有2个特点：
空集$\emptyset$是任意一个非空集合的真子集。
空集是任何一个集合的子集

如果集合$A$中含有n个元素，则集合$A$有2的n次方个子集，2的n次方-1个真子集

有些集合可以用一些特殊符号表示，比如：
$N$：非负整数集合或自然数集合$\{0,1,2,3,…\}$
$N*$或$N+$：正整数集合$\{1,2,3,…\}$
$Z$：整数集合$\{…,-1,0,1,…\}$
$Q$：有理数集合
$Q+$：正有理数集合
$Q-$：负有理数集合
$R$：实数集合(包括有理数和无理数）
$R+$：正实数集合
$R-$：负实数集合
$C$：复数集合
$∅$：空集（不含有任何元素的集合）

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等

集合之间的基本运算：
并集定义：由所有属于集合$A$或属于集合$B$的元素所组成的集合，记作$A \bigcup B$（或$B \bigcup A$），读作$A$并$B$（或$B$并$A$），即$A \bigcup B=\{x|x \in A,或x \in B\}$。并集越并越多。
交集定义：由属于$A$且属于$B$的相同元素组成的集合，记作$A$ \bigcap $B$（或$B$ \bigcap $A$），读作$A$交$B$（或$B$交$A$），即$A \bigcap B=\{x|x \in A,且x \in B\}$。交集越交越少。
若$A$包含$B$($B$包含于$A$)，则$A \bigcap B=B$，$A \bigcup B=A$

补集
相对补集定义：由属于$A$而不属于$B$的元素组成的集合，称为$B$关于$A$的相对补集，记作$A-B$或$A \backslash B$，即$A-B={x|x \in A，且x \notin B}$
绝对补集定义：$A$关于全集合$U$的相对补集称作$A$的绝对补集，记作$A'$或$C_uA$或$\~A$。有$U'=\emptyset$；$\emptyset'=U$

函数

函数的定义：设$A$、$B$是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系$f$，使得对于集合$A$中的任意一个元素$x$，在集合$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应，那么就称映射$f:A-->B$为从集合$A$到集合$B$的一个函数，记作$y=f(x) x\in A$
其中$x$叫自变量，$y$叫做$x$的函数，集合$A$是函数的定义域，集合$B$是值域，$f$叫做对应法则。其中定义域，值域，对应法则是函数的三要素。

函数的三种表示方法：解析法 图像法 列表法

函数的特性

（1）有界性

设函数$f(x)$在区间$X$上有定义，如果存在$M > 0$，对于一切属于区间$X$上的$x$，恒有 $|f(x)| ≤ M$，则称$f(x)$在区间$X$上有界，否则称$f(x)$在区间上无界

（2）单调性

设函数$f(x)$的定义域为$D$，区间$I$包含于$D$。如果对于区间上任意两点$x_1$及$x_2$，当$x_1 < x_2$时，恒有$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$
在区间$I$上是单调递增的；如果对于区间$I$上任意两点$x_1$及$x_2$，当$x_1 < x_2$时，恒有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数$f(x)$
在区间$I$上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

（3）奇偶性

设$f(x)$为一个实变量实值函数，若有$f(-x) = - f(x)$，则$f(x)$为奇函数。
几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
设$f(x)$为一实变量实值函数，若有$f(-x) = f(x)$，则$f(x)$为偶函数。
几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。

函数的导数：如果函数$f(x)$在$(a, b)$中每一点处都可导，则称$f(x)$在$(a, b)$上可导，则可建立$f(x)$的导函数，简称导数，记为$f'(x)$

函数$y=f(x)$在点$x_1$处的导数的几何意义：
函数$y=f(x)$在点$x_1$处的导数是曲线$y=f(x)$在$P(x_1, f(x_1))$处的切线的斜率$f'(x_1)$
相应的切线方程是$y-y_1 = f'(x_1)(x - x_1)$

复合函数：函数的嵌套 $y=f(t)$ $t=g(x)$，即$y=f(g(x))$

常函数：$y = C$ ($C$是常数)
一次函数：$y = kx + b$ ($k$为一次项系数，$b$为常数)
二次函数：$y = ax_2 + bx +c \, (a!=0)$

二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线$x=-b/2a$。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点$P$。特别地，当$b=0$时，抛物线的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）