高中数学基础：随机变量及其分布

基本概念

若随机变量$X$服从一个数学期望为$μ$、方差为$σ^2$的正态分布，记为$N(μ，σ^2)$。其概率密度函数为正态分布的期望值$μ$决定了其位置，其标准差$σ$决定了分布的幅度。当$μ = 0, σ = 1$时的正态分布是标准正态分布。

离散型随机变量

（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量常用字母$X,Y,\xi,\eta$ 等表示。

（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量。

（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续型随机变量的结果不可以一一列出。

（5）若$X$是随机变量，$Y=aX+b$（$a,b$是常数），则$Y$也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。

离散型随机变量的分布列

概率分布（分布列）

设离散型随机变量$X$可能取的不同值为$x_1,x_2,···,x_i,···,x_n$，$X$的每一个值$x_i \, (i=1,2,···,n)$的概率$P(X=x_i)=p_i$，则称表

为随机变量$X$的概率分布，简称$X$的分布列。

性质：

① $pi≥0,i=1,2,...n$
② $\sum{i=1}^np_i=1$

两点分布

如果随机变量$X$的分布列为

则称$X$服从两点分布，并称$p=P(X=1)$为成功分布。

二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是$p$，那么在$n$次独立重复试验中这个事件恰好发生$k$次的概率是

$P(X=k) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$，其中$k=0,1,2,...,n, \, q=1-p$，于是得到随机变量$X$的概率分布如下：

我们称这样的随机变量$X$服从二项分布，记作$X~B(n,p)$，并称$p$为成功概率。

判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：
① 独立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；
② 重复性：即试验是独立重复地进行了$n$次
③ 等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等。

注：二项分布的模型是有放回抽样

离散型随机变量的均值与方差

（1）离散型随机变量的均值

一般地，若离散型随机变量$X$的分布列为

则称：

$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+···+x_ip_i+···+x_np_n$

为离散型随机变量$X$的均值或期望，反映了离散型随机变量取值的平均水平。

性质：

① $E(aX+b)=aE(X)+b$
② 若$X$服从两点分布，则$E(X)=p$
③ 若$X~B(n,p)$，则$E(X)=np$

（2）离散型随机变量的方差

一般地，若离散型随机变量$X$的分布列为

则称：

$D(X)=\sum_{i=1}^n(x_i-E(X))^2p_i$

为离散型随机变量$X$的方差，并称其算术平方根$\sqrt{D(X)}$为随机变量$X$的标准差。反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。$D(X)$越小，$X$的稳定性越高，波动越小，取值越集中；$D(X)$越大，$X$的稳定性越差，波动越大，取值越分散。

① $D(aX+b)=a^2D(X)$
② 若$X$服从两点分布，则$D(X)=p(1-p)$
③ 若$X~B(n,p)$，则$D(X)=np(1-p)$

正态分布

正态分布概率密度曲线函数表达式为：

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}·\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \, x \in R
$$

其中$\mu,\sigma$是参数，且$\sigma>0,-∞<\mu<+∞$，记作$N(\mu,\sigma^2)$，曲线如下图：