高中数学基础：数列的极限及其准则

数列极限的定义

设$\{x_n\}$为一数列，若有常数$a$，对任意给定的正数$\varepsilon$（无论$\varepsilon$有多小），总存在正整数$N$，使当$n>N$时，不等式$|x_n-a|<\varepsilon$恒成立，则称$a$是数列$\{x_n\}$的极限或称$\{x_n\}$收敛于$a$，记为

$$
\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a \,\, 或 \,\, x_n \rightarrow a \, (n \rightarrow ∞)
$$

① $\varepsilon$是任意的，这样才能表示无限接近
② $N$是相应于$\varepsilon$的，只要$N$存在，而不必找其最小值

若这样的$a$不存在，则称数列$\{x_n\}$无极限或$\{xn\}$发散$\lim \limits{x \to ∞} x_n$不存在。

例一

已知：

$$
x_n=\frac{n+(-1)^n}{n}
$$

证明数列$\{x_n\}$的极限为1。

证：

$$
|x_n-1|=|\frac{n+(-1)^n}{n}-1|=\frac{1}{n}
$$

$\forall \varepsilon > 0$，欲使$|x_n-1|<\varepsilon$，即$\frac{1}{n}<\varepsilon$，只要$n>\frac{1}{\varepsilon}$

因此，取$N=[\frac{1}{\varepsilon}]$，当$n>N$时，就有

$$
|\frac{n+(-1)^n}{n}-1| < \varepsilon
$$

故

$$
\lim \limits_{x \to ∞} xn = \lim \limits{x \to ∞} \frac{n+(-1)^n}{n} = 1
$$

例二

证明：

$$
\lim \limits_{x \to ∞} \frac{\cos \frac{n\pi}{2}}{n} = 0
$$

分析：

$$
|x_n-0| = \frac{|\cos \frac{n\pi}{2}|}{n}
$$

$\forall \varepsilon > 0$，为使$|x_n-0|<\varepsilon$，只需要

$$
\frac{|\cos \frac{n\pi}{2}|}{n} < \varepsilon
$$

$n$无法解出，注意到

$$
\frac{|\cos \frac{n\pi}{2}|}{n} ≤ \frac{1}{n}
$$

故只需要$\frac{1}{n}<\varepsilon$，即$n>\frac{1}{\varepsilon}$

证：

$\forall \varepsilon > 0$，取$N=[\frac{1}{\varepsilon}]$，则当$n>N$时，就有

$$
|x_n-0| = \frac{|\cos \frac{n\pi}{2}|}{n} ≤ \frac{1}{n} ≤ \varepsilon
$$

从而

$$
\lim \limits_{x \to ∞} \frac{\cos \frac{n\pi}{2}}{n} = 0
$$

例三

证明：

$$
\lim \limits_{x \to ∞} \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} = 0
$$

分析：

$$
|x_n-0| = \frac{1}{(n+1)^2}
$$

$\forall \varepsilon > 0$，为使$|x_n-0|<\varepsilon$，只需要

$$
\frac{1}{(n+1)^2} < \varepsilon
$$

即

$$
(n+1)^2 > \frac{1}{\varepsilon}, \, n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}-1
$$

证：

$\forall \varepsilon > 0$（不妨设$\forall \varepsilon < 1$），取$N=[\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}-1]$，则当$n>N$时，有

$$
|\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}-0| < \varepsilon
$$

即

$$
\lim \limits_{x \to ∞} \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} = 0
$$

令证：

$$
|x_n-0| = \frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}
$$

为使$|x_n-0|<\varepsilon$，只需要$\frac{1}{n}<\varepsilon$，即$n>\frac{1}{\varepsilon}$，从而取$N=[\frac{1}{\varepsilon}]$即可。

收敛数列的性质

定理一：若数列$\{x_n\}$收敛，则它的极限唯一。

证：反证法，设$x_n \rightarrow a, x_n \rightarrow b$，且$a<b$，取$\varepsilon=\frac{b-a}{2}$

则由极限定义知，对此$\varepsilon>0$

$\exists$正整数$N_1$，当$n>N_1$时，$|x_n-a|<\varepsilon$，即有$x_n < \frac{a+b}{2}$
$\exists$正整数$N_2$，当$n>N_2$时，$|x_n-b|<\varepsilon$，即有$x_n > \frac{a+b}{2}$

故取$N=max{N_1,N_2}$，当$n>N$时，有

$x_n < \frac{a+b}{2}$ 且 $x_n > \frac{a+b}{2}$。矛盾！从而假设不成立！

于是由$a,b$的大小任意性可推出$a=b$，即极限唯一。

定理二：若数列$\{x_n\}$收敛，则数列$\{x_n\}$一定有界。

证：设$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a$，取$\varepsilon=1$，则$\exists$正整数$N$，当$n>N$时，有$|x_n-a| < 1$，从而

$|x_n| = |(x_n-a)+a| ≤ |x_n-a| + |a| < 1+|a|$

再取 $M=max\{|x_1|,|x_2|,···,|x_N|,1+|a|\}$

则有 $|x_n| ≤ M \, (n=1,2,···)$

故数列$\{x_n\}$有界。

① 若数列收敛，则数列有界
② 若数列有界，则数列不一定收敛。如数列$\{(-1)^{n+1}\}$有界但不收敛

定理三：收敛数列的保号性

若$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a$且$a>0(<0)$，则$\exists$正整数$N$，当$n>N$时，有$x_n>0(<0)$。

证：只证$a>0$的情况

取$\varepsilon=\frac{a}{2}$，则由极限定义知，$\exists$正整数$N$，当$n>N$时，有

$|x_n-a|<\frac{a}{2}$，即$\frac{a}{2}<x_n<\frac{3a}{2}$

因$a>0$，故$x_n>0$

推论：若$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a$，且$\exists$正整数$N$，当$n>N$时，$x_n≥0(≤0)$，则$a≥0(≤0)$。

夹逼准则

若$(1) \, y_n ≤ x_n ≤ zn \, (n=1,2,···)$及$(2) \, \lim \limits{x \to ∞} yn = \lim \limits{x \to ∞} zn = a$，则$\lim \limits{x \to ∞} x_n = a$

证：由条件$(2)$

$\forall \varepsilon > 0,\exists N_1,N_2$

当$n>N_1$时，$|y_n-a| < \varepsilon$
当$n>N_2$时，$|z_n-a| < \varepsilon$

令$N=max\{N_1,N_2\}$，则当$n>N$时，有

$a-\varepsilon < y_n < a+\varepsilon, \, a-\varepsilon < z_n < a+\varepsilon$

由条件$(1)$

$a-\varepsilon < y_n ≤ x_n ≤ z_n < a+\varepsilon, \, a-\varepsilon < z_n < a+\varepsilon$

即$|xn - a| < \varepsilon$，故$\lim \limits{x \to ∞} x_n = a$

单调有界数列必有极限

若$x_1 ≤ x_2 ≤ ··· ≤ xn ≤ x{n+1} ≤ ··· ≤ M$，则$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = a (≤ M)$
若$x_1 ≥ x_2 ≥ ··· ≥ xn ≥ x{n+1} ≥ ··· ≥ m$，则$\lim \limits_{x \to ∞} x_n = b (≥ m)$