高等数学基础：导数的应用1：单调性、凹凸性、极值与最值

函数单调性

通过函数的导数的值，可以判断出函数的单调性、驻点以及极值点:

若导数大于0，则单调递增；若导数小于0，则单调递减；导数等于0的点为函数驻点。

如果函数的导函数在某一个区间内恒大于0（或恒小于0），那么函数在这一个区间单调递增（或单调递减），这种区间就叫做单调区间。

函数的驻点和不可导点处有可能取得极大值或者极小值（极值可疑点）；对于极值点的判断需要判断驻点附近的导函数值的符号，如果存在使得之前区间上导函数值都大于零，而之后的区间上都小于零，那么这个点就是一个极大值点，反之则是一个极小值点。

函数凹凸性

定义：设函数$f(x)$在区间$I$上连续，$\forall x_1,x_2 \in I$

若恒有

$$
f(\frac{x_1+x_2}{2}) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}
$$

则称$f(x)$的图形是凹的。

若恒有

$$
f(\frac{x_1+x_2}{2}) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}
$$

则称$f(x)$的图形是凸的。

连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。

拐点是否存在：二阶导数为0 或 二阶导数不存在，具体还要看左右两侧的凹凸性是否发生改变

定理（凹凸判定法）：设函数$f(x)$在区间$I$上有二阶导数

(1) 在$I$内$f''(x)>0$，则$f(x)$在$I$内图形是凹的；
(1) 在$I$内$f''(x)<0$，则$f(x)$在$I$内图形是凸的；

函数的极值与最值

定义：设函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域$U(x_0,\delta)$有定义，且当$x \in U(x_0,\delta)$时，恒有$f(x)<f(x_0)$，则称$f(x_0)$为$f(x)$的一个极大值；如果当$x \in U(x_0,\delta)$时，恒有$f(x)>f(x_0)$，则称$f(x_0)$为$f(x)$的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

若$f(x)$在极值点$x_0$处可导，则$f'(x_0)=0$。导数等于$0$的点称为驻点，对可导函数来讲，极值点必为驻点。

极值存在的第一充分条件

设函数$f(x)$在$x_0$连续，且在$x_0$的某去心邻域$U(x_0,\delta)$内可导

（1）若当$x \in (x_0-\delta, x_0)$时，$f'(x) > 0$，当$x \in (x_0, x_0+\delta)$时，$f'(x) < 0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极大值。
（2）若当$x \in (x_0-\delta, x_0)$时，$f'(x) < 0$，当$x \in (x_0, x_0+\delta)$时，$f'(x) > 0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极小值。
（3）若当$x \in U(x_0, \delta)$时，$f'(x)$符号保持不变，则$f(x)$在$x_0$处无极值。

极值可疑点：一阶导数为0 或导数不存在

极值存在的第二充分条件

设函数$f(x)$在它的驻点$x_0$处二阶可导，则

若$f''(x_0)>0$，则$x_0$为极小值点；
若$f''(x_0)<0$，则$x_0$为极大值点；
若$f''(x_0)=0$，则无法判断。

(1) 此法只适用于驻点，不能用于判断不可导点
(2) 当$f''(x_0)=0$时，失效，如：$x^3$在$x=0$处

求极值的步骤

(1) 确定函数的定义域
(2) 求导数$f'(x)$
(3) 求定义域内部的极值嫌疑点（即驻点或一阶导数不存在的点）
(4) 用极值的判定第一或第二充分条件（注意第二充分条件只能判定驻点的情形）

例：求出函数$f(x)=x^3+3x^2-24x-20$的极值

解：$f'(x)=3x^2+6x-24=3(x+4)(x-2)$

令$f'(x)=0$，得驻点$x_1=-4,x_2=2$

$\because f''(-4)=-18<0$，故极大值$f(-4)=60$；$f''(2)=18>0$，故极小值$f(2)=-48$。

函数的最大值、最小值问题

极值是局部性的，而最值是全局性的。若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上的最大值与最小值存在。

具体求法：

(1) 求出定义域内部的极值嫌疑点（驻点和不可导点）$x_1,x_2,···,x_k$，并算出函数值$f(x_i)(i=1,2,···,k)$
(2) 求出端点的函数值$f(a),f(b)$
(3) 最大值$M=max{f(x_1),···,f(x_k),f(a),f(b)}$，最小值$m=min{f(x_1),···,f(x_k),f(a),f(b)}$

求解技巧：

(1) 如果$f(x)$在$[a,b]$上单调，则它的最值必在端点处收到
(2) 如果$f(x)$在$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，且有唯一驻点，则若为极小值点必为最小值点，若为极大值点必为最大值点
(3) 如果$f(x)$在$[a,b]$上有最大(小)值，且有唯一驻点，则不必判断极大还是极小，立即可以判定该驻点即为最大(小)值点

例题解析

（1）求函数$f(x)=(x-1)(x-2)^3(x-3)^3(x-4)$在$(-∞,+∞)$上的极值数

穿线法：奇穿偶不穿

当$x < 1$，$2 < x < 4$且$x \neq 3$时，$f(x) < 0$
当$1 < x < 2$，$x > 4$时，$f(x) > 0$

（2）将边长为$a$的正方形铁皮，四角各截去相同的小正方形，折成一个无盖方盒，问如何截使方盒的容积最大？

$V = x(a-2x)^2 \, x \in (0, \frac{a}{2})$
$V' = (2x-a)(6x-a)$
$V'' = 24x-8a$

唯一驻点$x=\frac{a}{6}, \, V''(\frac{a}{6})=-4a<0$，取得极大值

（3）要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？

即表面积最小，设底半径为$r$，高为$h$

$V = \pi r^2h \Rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2}$
$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + 2\pi r \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$
$S' = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$
$S'' = 4\pi + \frac{2V}{r^3}$

唯一驻点$x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}, \, V''=12\pi>0$，取得极小值