矩阵特征值和特征向量详细计算过程

矩阵特征值和特征向量定义

A为n阶矩阵，若数\lambda和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数\lambda称为A的特征值，x称为A的对应于特征值\lambda的特征向量。式Ax=λx也可写成(A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做$A$的特征多项式。当特征多项式等于0的时候，称为$A$的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。

Ax = \lambda x \implies Ax = \lambda Ex \implies (\lambda E - A)x = 0

|\lambda E - A| =
\begin {vmatrix}
  \lambda - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\
  -a_{21} & \lambda - a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn}
\end {vmatrix}
= 0

特征值及特征向量计算

若已知

A =
\begin {pmatrix}
  4 & 2 & -5 \\
  6 & 4 & -9 \\
  5 & 3 & -7
\end {pmatrix}

计算：A的特征值和特征向量

|\lambda E - A| =
\begin {vmatrix}
  \lambda - 4 & -2 & 5 \\
  -6 & \lambda - 4 & 9 \\
  -5 & -3 & \lambda + 7
\end {vmatrix}
= 0

计算行列式得：

(\lambda-4)(\lambda-4)(\lambda+7) + (-2)\times9\times(-5) + 5\times(-6)\times(-3) - \\
(5\times(\lambda-4)\times(-5) + (-2)\times(-6)\times(\lambda+7) + (\lambda-4)\times9\times(-3)) = 0

化简得：

\lambda^2 * (\lambda-1) = 0

得到特征值：

\lambda_1 = 1, \lambda_2 = \lambda_3 = 0

当 \lambda_1 = 1 \implies (E - A)x = 0

$E = \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)$ 从而 $E - A = \bigl( \begin{smallmatrix} -3 & -2 & 5 \\ -6 & -3 & 9 \\ -5 & -3 & 8 \end{smallmatrix} \bigr)$ 化简得：$\bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr)$

(E - A)x =
\begin {pmatrix}
  0 & 1 & -1 \\
  1 & 0 & -1 \\
  0 & 0 & 0
\end {pmatrix}
\begin {pmatrix}
  x_1 \\
  x_2 \\
  x_3
\end {pmatrix}
= 0
\implies
\left \\{
\begin{array} {l}
x_1 - x_3 = 0 \\
x_2 - x_3 = 0
\end{array}
\right.

令x_1 = 1，得到特征矩阵：

\xi_1 =
\begin {pmatrix}
  1 \\
  1 \\
  1
\end {pmatrix}

同理，当\lambda_2 = \lambda_3 = 0得：

(E - A)x =
\begin {pmatrix}
  -2 & 0 & 1 \\
  0 & -2 & 3 \\
  0 & 0 & 0
\end {pmatrix}
\begin {pmatrix}
  x_1 \\
  x_2 \\
  x_3
\end {pmatrix}
= 0
\implies
\left \\{
\begin{array} {l}
-2x_1 + x_3 = 0 \\
-2x_2 + 3x_3 = 0
\end{array}
\right.

令x_1 = 1，得到特征矩阵：

\xi_2 = \xi_3 =
\begin {pmatrix}
  1 \\
  3 \\
  2
\end {pmatrix}

Python中计算特征值及特征向量

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np

a = np.array([[4, 2, -5], [6, 4, -9], [5, 3, -7]])
print(a)
# x = np.linalg.eigvals(a)
# print(x)
w, v = np.linalg.eig(a)  # w是特征值, v为特征向量
print(w)
print(v)

输出结果：

[[ 4  2 -5]
 [ 6  4 -9]
 [ 5  3 -7]]
[ 1.00000000e+00  4.02000914e-08 -4.02000921e-08]
[[ 0.57735027 -0.26726123  0.26726125]
 [ 0.57735027 -0.80178373  0.80178372]
 [ 0.57735027 -0.53452248  0.53452249]]

注：np.linalg对矩阵特征值和特征向量进行了归一化处理