高等数学基础：导数的应用2：泰勒Taylor公式

Taylor公式

Taylor(泰勒)公式

Taylor(泰勒)公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，Taylor公式可以利用这些导数值来做系数构建一个多项式近似函数在这一点的邻域中的值。

若函数f(x)在包含x_0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有n+1阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，有Taylor公式如下：

f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ··· + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)

其中f^{(n)}表示 $f(x) $的n阶导数，R_n(x)是Taylor公式的余项，是(x-x_0)^n的高阶无穷小

令f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + a_3(x-x_0)^3 + ··· + a_n(x-x_0)^n

f'(x) = a_1 + 2·1a_2(x-x_0) + 3a_3(x-x_0)^2 + ···，即a_1 = \frac{f'(x_0)}{1!}

f''(x) = 2·1a_2 + 3·2·1a_3(x-x_0) + ···，即a_2 = \frac{f''(x_0)}{2!}

f''(x) = 3·2·1a_3 + 4·3·2·1a_4(x-x_0) + ···，即a_3 = \frac{f'''(x_0)}{3!}

麦克劳林公式

特殊地x_0=0，有

f(x) = \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + ··· + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)

Taylor公式余项

f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)

佩亚诺(Peano)余项：R_n(x) = o[(x-x_0)^n]

拉格朗日(Lagrange)余项：R_n(x) = f^{(n+1)}[x_0 + \theta(x-x_0)]\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}

几个常见初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式

e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + ··· + \frac{1}{n!}x^n + o(x^n)

\sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + ··· + \frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}x^{2m-1} + o(x^{2m-1})

\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - ··· + \frac{(-1)^m}{(2m)!}x^{2m} + o(x^{2m})

\operatorname{ln}(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - ··· + \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n} + o(x^n)

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ··· + x^n + o(x^n)

(1+x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + ··· + \frac{m(m-1)···(m-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)

欧拉公式

e^{ix} = \cos x + i \sin x

第一宇宙公式，i为虚数单位

推论：e^{i\pi} = -1