高中数学基础：反函数与6个基本初等函数

反函数

一般地，如果$x$与$y$关于某种对应关系$ f(x) $相对应，$ y=f(x) $，则$ y=f(x) $的反函数为$ x=f(y) $或者$ y=f^{-1}(x) $。
存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。
注意：上标"−1"指的并不是幂。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

性质：
（1）函数$ f(x) $与它的反函数$ f^{-1}(x) $图象关于直线$y=x$对称；
（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数$ y=f(x) $， 定义域是$ \\{0\\} $ 且$ f(x)=C $（其中$C$是常数），则函数$ f(x) $是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是$ \\{C\\} $，值域为$ \\{0\\} $）。奇函数不一定存在反函数，被与$ y $轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；
（7）反函数是相互的且具有唯一性；
（8）定义域、值域相反对应法则互逆。

初等函数

基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。

幂函数

一般地，形如$ y=x^α $($ α $为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
其中，$ α $可为任何常数，但中学阶段仅研究$α$为有理数的情形（$α$为无理数时取其近似的有理数）

例如函数$ y=C$、$y=x$、$y=x^2$、$y=x^{-1}=\frac{1}{x} (x≠0) $、$ y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} $等都是幂函数。

指数函数

$y=a^x $

$ a $为常数且$ a>0，a≠1 $称为指数函数，其中$ x \in R$，$y \in (0，+∞) $。

指数函数中，前面的系数为1。如：$ y=10^x $、$ y=\pi^x $ 都是指数函数，而$ y=2*3^x $不是指数函数

当$ a>1 $时，指数函数是单调递增函数；当$ 0<a<1 $时，指数函数是单调递减函数。

指数函数运算法则：

$ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} $
$ a^{m+n}=a^m·a^n $
$ a^{m-n}=a^m·a^{-n}=\frac{a^m}{a^n} $
$ a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m $

对数函数

对数函数是指数函数的反函数

$ y=\log_ax $

$ a $为常数且$a>0，a≠1$称为对数函数，$ x \in (0，+∞) $，$ y \in R $`。

当$ a>1 $时，指数函数是单调递增函数；当$ 0<a<1 $时，指数函数是单调递减函数。

对数函数运算法则：

$ \log_aMN=\log_aM+\log_aN $
$ \log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN $
$ \log_aa^b=b $, $ \log_{10}a=\operatorname{lg}a $, $ \log_ea=\operatorname{ln}a $
$ \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca} $ //换底公式
$ \log_{a^n}b^m=\frac{m}{n}log_ab $

三角函数

正弦：$ y=\operatorname{sin}x$，$y \in [-1，1] $
余弦：$ y=\operatorname{cos}x$，$y \in [-1，1] $
正切：$ y=\operatorname{tan}x$，$y \in (-∞，+∞) $
正切：$ y=\operatorname{cot}x$，$y \in (-∞，+∞) $

三角函数公式

（1）和差角公式

$ \operatorname{cos}(a+b)=\operatorname{cos}a \operatorname{cos}b - \operatorname{sin}a \operatorname{sin}b $
$ \operatorname{cos}(a-b)=\operatorname{cos}a \operatorname{cos}b + \operatorname{sin}a \operatorname{sin}b $
$ \operatorname{sin}(a+b)=\operatorname{sin}a \operatorname{cos}b + \operatorname{cos}a \operatorname{sin}b $
$ \operatorname{sin}(a-b)=\operatorname{sin}a \operatorname{cos}b - \operatorname{cos}a \operatorname{sin}b $
$ \operatorname{tan}(a+b)=\frac{\operatorname{tan}a + \operatorname{tan}b}{1-\operatorname{tan}a \operatorname{tan}b} $
$ \operatorname{tan}(a-b)=\frac{\operatorname{tan}a - \operatorname{tan}b}{1+\operatorname{tan}a \operatorname{tan}b} $

（2）和差化积公式

$ \operatorname{sin}a+\operatorname{sin}b=2\operatorname{sin}\frac{a+b}{2}\operatorname{cos}\frac{a-b}{2} $
$ \operatorname{sin}a-\operatorname{sin}b=2\operatorname{cos}\frac{a+b}{2}\operatorname{sin}\frac{a-b}{2} $
$ \operatorname{cos}a+\operatorname{cos}b=2\operatorname{cos}\frac{a+b}{2}\operatorname{cos}\frac{a-b}{2} $
$ \operatorname{cos}a-\operatorname{cos}b=-2\operatorname{sin}\frac{a+b}{2}\operatorname{sin}\frac{a-b}{2} $
$ \operatorname{tan}a±\operatorname{tan}b=\frac{\operatorname{sin}(a±b)}{\operatorname{cos}a\operatorname{cos}b} $
$ \operatorname{cot}a±\operatorname{cot}b=±\frac{\operatorname{sin}(a±b)}{\operatorname{sin}a\operatorname{sin}b} $

（3）积化和差公式

$ \operatorname{sin}a\operatorname{cos}b=\frac{1}{2}[\operatorname{sin}(a+b)+\operatorname{sin}(a-b)] $
$ \operatorname{cos}a\operatorname{sin}b=\frac{1}{2}[\operatorname{sin}(a+b)-\operatorname{sin}(a-b)] $
$ \operatorname{cos}a\operatorname{cos}b=\frac{1}{2}[\operatorname{cos}(a+b)+\operatorname{cos}(a-b)] $
$ \operatorname{sin}a\operatorname{sin}b=\frac{1}{2}[\operatorname{cos}(a+b)-\operatorname{cos}(a-b)] $

（4）二倍角公式

$ \operatorname{sin}2a=2\operatorname{sin}a\operatorname{cos}a $
$ \operatorname{cos}2a=2\operatorname{cos}^2a-1=1-2\operatorname{sin}^2a $
$ \operatorname{tan}2a=\frac{2\operatorname{tan}a}{1-\operatorname{tan}^2a} $