高中数学基础：数列与不等式

数列

等差数列

（1）通项公式

$$
a_n=a_1+(n-1)d
$$

（2）前n项和公式

$$
S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}
$$

（3）常用性质

① 若$m+n=p+q \, (m,n,p,q \in N_+)$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$；
② 下标为等差数列的项$(ak,a{k+m},a_{k+2m},···)$，仍组成等差数列；
③ 数列$\{\lambda a_n+b\}$ ($\lambda,b$为常数)仍为等差数列；
④ 若$\{a_n\}$、$\{b_n\}$是等差数列，则$\{ka_n\}$、$\{ka_n+pbn\}$($k$、$p$是非零常数)、$\{a{p+nq}\}$ $(p,q \in N^*)···$ 也是等差数列；
⑤ 单调性：$\{a_n\}$的公差为$d$，则：
1) $d>0 \Leftrightarrow \{a_n\}$为递增数列；
2) $d<0 \Leftrightarrow \{a_n\}$为递减数列；
3) $d=0 \Leftrightarrow \{a_n\}$为常数列；
⑥ 若数列$\{a_n\}$为等差数列$\Leftrightarrow a_n=pn+q$ ($p,q$是常数)
⑦ 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$，则$Sk$、$S{2k}-Sk$、$S{3k}-S_{2k}···$是等差数列。

等比数列

（1）通项公式

$$
a_n=a_1q^{n-1} \,\, (q≠1)
$$

（2）前n项和公式

$$
S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}
$$

（3）常用性质

① 若$m+n=p+q \, (m,n,p,q \in N_+)$，则$a_m·a_n=a_p·a_q$；
② $(ak,a{k+m},a_{k+2m},···)$为等比数列，公比为$q^k$(下标成等差数列，则对应的项成等比数列)；
③ 数列$\{\lambda a_n\}$($\lambda$为不等于零的常数)仍是公比为$q$的等比数列；若有正项等比数列$\{a_n\}$，则$\{\operatorname{log}a_n \}$是公差为$\operatorname{log}(q)$的等差数列；
④ 若$\{a_n\}$是等比数列，则$\{ka_n\}$、$\{a_n^2\}$、$\{\frac{1}{a_n}\}$、$\{a_n^r\}(r \in Z)$也是等差数列，公比依次是$q,q^2,\frac{1}{q},q^r$；
⑤ 单调性：$\{a_n\}$的公比为$q$，则：
1) $a_1 > 0, q > 1$或$a_1 < 0, 0 < q < 1 \Rightarrow \{a_n\}$为递增数列；
2) $a_1 > 0, 0 < q < 1$或$a_1 < 0, q >1 \Rightarrow \{a_n\}$为递减数列；
3) $q=1 \Rightarrow \{a_n\}$为常数列；
4) $q<0 \Rightarrow \{a_n\}$为摆动数列；
⑥ 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列；
⑦ 若等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$，则$Sk$、$S{2k}-Sk$、$S{3k}-S_{2k}$···是等比数列。

不等式

不等关系与不等式

① 对称性 $a > b \Rightarrow b < a$
② 传递性 $a > b, b > c \Rightarrow a > c$
③ 可加性 $a > b \Rightarrow a+c > b+c$
     同向可加性 $a > b, c > d \Rightarrow a+c > b+d$
     异向可减性 $a > b, c < d \Rightarrow a-c > b-d$
④ 可积性 $a > b, c > 0 \Rightarrow ac > bc$
                 $a > b, c < 0 \Rightarrow ac < bc$
⑤ 同向正数可乘性 $a > b > 0,c > d > 0 \Rightarrow ac>bd$
     异向正数可除性 $a > b > 0,0 < c < d \Rightarrow \frac{a}{c} > \frac{b}{d}$
⑥ 平方法则 $a > b >0 \Rightarrow a^n > b^n \, (n \in N,且n>1)$
⑦ 开方法则 $a > b >0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b} \, (n \in N,且n>1)$
⑧ 倒数法则 $a > b >0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ;\, a < b < 0 \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

不等式证明的几种常用方法

常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其他方法有：换元法、反证法、缩放法、构造法、函数单调性法、数学归纳法等